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Commencer à réviser séance 03 (mais pas fini)

#7
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0dcafa7ee9
İmzalayan: Louis-Olivier Brassard <louis@loupbrun.ca> GPG Key ID: 17905772515A357B
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@@ -5,7 +5,7 @@ date: 2019-09-30
5 5
 draft: true
6 6
 ---
7 7
 
8
-# La forme logique des arguments
8
+# Tautologie, contradiction et validité
9 9
 
10 10
 ## Objectifs
11 11
 
@@ -14,8 +14,8 @@ draft: true
14 14
 
15 15
 Pour ce faire, nous avons besoin :
16 16
 
17
-- de construire le langage approprié;
18
-- de méthodes pour déterminer si une forme donnée est valide ou non.
17
+- de construire le **langage approprié**;
18
+- de **méthodes** pour déterminer si une forme donnée est valide ou non.
19 19
 
20 20
 Nous avons identifié certaines expressions du langage qui ont un rôle logique : la conjonction, la négation et la disjonction.
21 21
 *(Nous n’avons pas fini…)*
@@ -36,7 +36,7 @@ L’implication est aussi appelée **conditionnel matériel** ou le **conditionn
36 36
 On se sert beaucoup du conditionnel pour des situations **causales**, mais ce n’est pas toujours le cas.
37 37
 C’est qu’il y a une concordance entre la relation causale et la représentation des concepts.
38 38
 Il faut être prudent lorsqu’on illustre la relation causale à l’aide du conditionnel.
39
-Il faut définir le type de connexion : entre des **événements** (relation causale) ou logique (relation purement conceptuelle).
39
+Il faut définir le **type de connexion** : entre des **événements** (relation causale) ou logique (relation purement conceptuelle).
40 40
 
41 41
 ### Terminologie
42 42
 
@@ -44,8 +44,8 @@ Il faut définir le type de connexion : entre des **événements** (relation cau
44 44
 
45 45
 2 parties :
46 46
 
47
-- `p` : **l’antécédent de l’implication**.
48
-- `q` : **le conséquent de l’implication**.
47
+- `p` : **l’antécédent de l’implication** (« le Canadien gagne contre Toronto »).
48
+- `q` : **le conséquent de l’implication** (« le Canadien fera les séries éliminatoires »).
49 49
 
50 50
 ### Table de vérité de l'implication
51 51
 
@@ -59,22 +59,21 @@ Il faut définir le type de connexion : entre des **événements** (relation cau
59 59
 Les deux dernières rangées sont étonnantes.
60 60
 Elles doivent être ainsi pour les distinguer de la disjonction (parce que sinon, ce serait la même table de vérité).
61 61
 
62
-Comme dans le cas de l’exponentiation, c’est une sorte de convention théorique, mais nécessaire pour que tout le reste fonctionne (on n’a pas le choix).
63
-Les deux dernières rangées doivent avoir une valeur de vérité; la seule valeur raisonnable est de dire qu’elles sont vraies.
62
+Comme dans le cas de l’exponentiation (ex. 2<sup>0</sup> = 1), c’est une sorte de convention théorique, mais qui apparaît en fin de compte **nécessaire** pour que tout le reste fonctionne (on n’a pas le choix).
63
+Les deux dernières rangées doivent avoir une **valeur de vérité**; la seule valeur raisonnable est de dire qu’elles sont vraies.
64 64
 
65 65
 Ce n’est pas parce que l’antécédent est faux que la conclusion est fausse!
66 66
 
67 67
 ## Énoncés logiquement complexes
68 68
 
69
-Interactions avec d’autres connecteurs 
69
+### Interactions avec d’autres connecteurs.
70 70
 
71
-> Si le Canadien Gange ou si Toronto perd, alors Boston passe en séries éliminatoires.
71
+> Si le Canadien gagne ou si Toronto perd, alors Boston passe en séries éliminatoires.
72 72
 
73
-- `p` : Le Canadien gagne
74
-- `q` : Toronto perd
73
+- `p` : Le Canadien gagne.
74
+- `q` : Toronto perd.
75 75
 - `r` : Boston passe en séries éliminatoires.
76 76
 
77
-
78 77
 Traduction correcte :
79 78
 
80 79
 ```
@@ -88,11 +87,11 @@ Il y a toujours une seule lecture possible lorsque l’énoncé est grammaticale
88 87
 Arbre de décomposition :
89 88
 
90 89
 ```
91
-  (p ∨ q) ⊃ r
92
-     |
93
-    / \
94
-   /   \ 
95
-(p ∨ q) r
90
+   (p ∨ q) ⊃ r
91
+      |
92
+     / \
93
+    /   \ 
94
+(p ∨ q)  r
96 95
   / \
97 96
  p   q
98 97
 ```
@@ -103,57 +102,53 @@ Autre exemple :
103 102
 
104 103
 Traductions possibles :
105 104
 
106
-- $$
107
-  (p \land \lnot q) \implies r
108
-  $$
105
+- ```
106
+  (p ∧ ¬q) ⊃ r
107
+  ```
109 108
 
110
-- $$
111
-  (p \land \lnot q) \land r
112
-  $$
109
+- ```
110
+  (p ∧ ¬q) ∧ r
111
+  ```
113 112
 
114
-- $$
115
-  p \land (\lnot q \land r)
116
-  $$
113
+- ```
114
+  p ∧ (¬q ∧ r)
115
+  ```
117 116
 
118 117
 La 2e traduction est la plus grammaticalement correcte.
119 118
 
120 119
 ```
121
-(p land lnot q) land r
120
+(p ∧ ¬q) ∧ r
122 121
 ```
123 122
 
124
-$$
125
-(p \land \lnot q) \land r
126
-$$
127
-
128
->  Fisher a gagner le match, à moins que Spassky joue sa reine à G6
123
+>  Fisher a gagné le match, à moins que Spassky joue sa reine à G6.
129 124
 
130 125
 - `p` : Fisher gagne le match
131 126
 - `q` : Spassky joue sa reine à G6
132 127
 
133
-$$
134
-q \implies \lnot p
135
-$$
128
+```latex
129
+q ⊃ ¬p
130
+```
136 131
 
137 132
 > Il n’y aura plus de glace au pôle nord nord en 2050, à moins que nous réduisions la production de gaz à effet de serre de 50% d’ici 2030.
138 133
 
139
-$$
140
-q \implies \lnot p
141
-$$
134
+```latex
135
+q ⊃ ¬p
136
+```
142 137
 
143 138
 ### Tables de vérité d’énoncés logiquement complexes
144 139
 
145 140
 Soit l’énoncé :
146 141
 
142
+```
143
+p ⊃ (¬q ∧ ¬r)
144
+```
147 145
 
148
-$$
149
-p \implies (\lnot q \land \lnot r)
150
-$$
151 146
 **Marche à suivre** :
152 147
 
153 148
 1. Identifier le **connecteur principal** : dans ce cas, c’est l’implication.
154
-2. Si les composantes de l’énoncé principal sont entre parenthèses, déterminer le connecteur principal à l’intérieur de ces parenthèses.
149
+2. Si les composantes de l’énoncé principal sont entre parenthèses, **déterminer le connecteur principal à l’intérieur de ces parenthèses**.
155 150
 3. Répéter le point 2 jusqu'à ce que les composantes soient des propositions atomiques ou la négation de propositions atomiques.
156
-4. Déterminer le nombre de lignes nécessaires pour la table : s’il y a `n` propositions atomiques, il doit y avoir 2<sup>`n`</sup> lignes.
151
+4. Déterminer le nombre de lignes nécessaires pour la table : s’il y a *n* propositions atomiques, il doit y avoir 2<sup>*n*</sup> lignes.
157 152
 5. Déterminer le nombre de colonnes nécessaires : le nombre de propositions atomiques plus le nombre de connecteurs dans l’énoncé complexe.
158 153
 6. Commencer par les propositions atomiques.
159 154
    Construire la table à partir des énoncés les plus simples aux plus complexes.
@@ -173,16 +168,19 @@ $$
173 168
 
174 169
 Considérez les propositions suivantes :
175 170
 
176
-- `p` : li y a du feu.
171
+- `p` : il y a du feu.
177 172
 - `q` : il y a de l’oxygène.
178 173
 - Il est **nécessaire** qu’il y ait de l’oxygène pour qu’il y ait du feu.
179 174
   Mais ce n’est pas **suffisant**.
180
-  Comment expliquer cette relation?
175
+
176
+Comment expliquer cette relation?
181 177
 
182 178
 Deux possibilités :
183 179
 
184
-1. S’il y a du feu, alors il y a de l’oxygène `p ⊃ q`
185
-2. S’il y a de l’oxygène, alors il y a du feu : `q ⊃ p`
180
+1. S’il y a du feu, alors il y a de l’oxygène\
181
+   `p ⊃ q`
182
+2. S’il y a de l’oxygène, alors il y a du feu\
183
+   `q ⊃ p`
186 184
 
187 185
 On peut aussi dire :
188 186
 
@@ -198,12 +196,17 @@ Autre variation :
198 196
 
199 197
 > Les assurances remboursent le coût des objets volés seulement si les portes étaient barrées.
200 198
 
201
-- `p` : les assurances remboursent le coût des objets volés.
202
-- `q` : les portes étaient barrées.
199
+- `p` : les assurances remboursent le coût des objets volés
200
+- `q` : les portes étaient barrées
203 201
 
204 202
 Ceci signifie que les portes soient barrées est une condition nécessaire pour obtenir un remboursement des assurances.
205 203
 
206
-Deux traductions
204
+Deux traductions :
205
+
206
+1. Si les assurances remboursent le coût des objets volés, alors les portes étaient barrées.\
207
+   `p ⊃ q`
208
+2. Si les portes étaient barrées, alors les assurances remboursent le coût des objets volés.\
209
+   `q ⊃ p`
207 210
 
208 211
 ---
209 212
 
@@ -213,12 +216,15 @@ Autre exemple :
213 216
 
214 217
 - `p` : un organisme demeure en vie
215 218
 - `q` : un organisme consomme de l'eau
216
-- Pour vivre, il est nécessaire de boire de l’eau. Mais ce n’est pas suffisant.
219
+- Pour vivre, il est nécessaire de boire de l’eau. 
220
+  Mais ce n’est pas suffisant.
217 221
 
218 222
 Deux traductions possibles :
219 223
 
220
-1. Si un organisme demeure en vie, alors il consomme de l’eau `p ⊃ q` (BONNE RÉPONSE)
221
-2. Si un organisme consomme de l’eau, alors il demeure en vie `q ⊃ p`
224
+1. Si un organisme demeure en vie, alors il consomme de l’eau. \
225
+   `p ⊃ q` (BONNE RÉPONSE)
226
+2. Si un organisme consomme de l’eau, alors il demeure en vie.\
227
+   `q ⊃ p`
222 228
 
223 229
 ---
224 230
 
@@ -226,7 +232,7 @@ Exemple de condition suffisante : si le patient reçoit une trop forte dose d’
226 232
 
227 233
 ---
228 234
 
229
-Exemple
235
+Autre exemple :
230 236
 
231 237
 > Pour qu’un argument soit probant, il doit d’abord être valide.
232 238
 
@@ -240,19 +246,19 @@ Deux traductions possibles :
240 246
 
241 247
 ---
242 248
 
243
-Autre exemple
249
+Autre exemple : 
244 250
 
245 251
 > Pour être admis en médecine, la cote R doit être d’au moins 36.
246 252
 
247 253
 ---
248 254
 
249
-Les conditions nécessaires sont toujours exprimées dans le conséquent d’une implication.
255
+Les **conditions nécessaires** sont toujours exprimées dans le **conséquent** d’une implication.
250 256
 
251
-`p implique q` : q exprime les conditions nécessaires.
257
+`p  q` : q exprime les conditions nécessaires.
252 258
 
253
-Les conditions suffisantes sont toujours exprimées dans l’antécédent d’une implication.
259
+Les **conditions suffisantes** sont toujours exprimées dans l’**antécédent** d’une implication.
254 260
 
255
-`p implique q` : p exprime les conditions suffisantes.
261
+`p  q` : p exprime les conditions suffisantes.
256 262
 
257 263
 **Mise en garde** : il ne faut pas confondre « … seulement si… » et « … si… ».
258 264
 
@@ -304,7 +310,7 @@ Le biconditionnel est une **double implication**.
304 310
 
305 311
 Le biconditionnel est équivalent à deux implications :
306 312
 $$
307
-(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow (p \implies q) \land (q \implies q)
313
+(p ≡ q) ≡ (p ⊃ q) ∧ (q ⊃ q)
308 314
 $$
309 315
 
310 316
 ## Le langage LP
@@ -373,7 +379,7 @@ Autre convention: `p ⊃ q`, `p ∴ q`.
373 379
 
374 380
 Cet argument a la même forme que l’argument suivant :
375 381
 $$
376
-p \implies q, q \conclusion q
382
+p  q, q \conclusion q
377 383
 $$
378 384
 
379 385
 ### Convention

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